重心坐标

例如颜色等信息一般储存在三角形的顶点中，在进行着色时需要使用三个顶点的属性进行插值。

通常使用三角形重心坐标进行插值

2D三角形

$a$ $b$ $c$ 构成的2D三角形

\begin{matrix} (1) & \begin{matrix} a r e a = \frac{1}{2} | \begin{matrix} x_{b} - x_{a} & x_{c} - x_{a} \\ y_{b} - y_{a} & y_{c} - y_{a} \end{matrix} | = \frac{1}{2} (x_{a} y_{b} + x_{b} y_{c} + x_{c} y_{a} - x_{a} y_{c} - x_{b} y_{a} - x_{c} y_{b}) \end{matrix} \end{matrix}

$\bold{p}(\alpha,\beta,\gamma)=\alpha\bold{a}+\beta\bold{b}+\gamma\bold{c}$

$\alpha+\beta+\gamma=1$

$\alpha,\beta,\gamma$ 满足

$0<\alpha<1$

$0<\beta<1$

$0<\gamma<1$

坐标才会在三角形内

\begin{matrix} (2) & γ = \frac{(y_{a} - y_{b}) x + (x_{b} - x_{a}) y + x_{a} y_{b} - x_{b} y_{a}}{(y_{a} - y_{b}) x_{c} + (x_{b} - x_{a}) y_{c} + x_{a} y_{c} - x_{c} y_{a}} \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & β = \frac{(y_{a} - y_{c}) x + (x_{c} - x_{a}) y + x_{a} y_{c} - x_{c} y_{a}}{(y_{a} - y_{c}) x_{b} + (x_{c} - x_{a}) y_{b} + x_{a} y_{c} - x_{c} y_{a}} \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & α = 1 - β - γ \end{matrix}

也可以用面积的比值来表示

\begin{matrix} (5) & \begin{matrix} α = A_{a} / A \\ β = A_{b} / A \\ γ = A_{c} / A \end{matrix} \end{matrix}

在进行计算时实际只需要计算其中任意三个面积

使用三维向量的叉乘运算求三角形面积

\begin{matrix} (6) & a r e a = \frac{1}{2} | | (b - a) \times (c - a) | | \end{matrix}

但是此处计算的不是有符号面积，即计算的是三角形面积的绝对值，不能直接用于计算重心坐标。

在计算重心坐标时，需要考虑面积的符号

可以发现，按顺时针和逆时针方向定义的顶点顺序，在计算法向量时会得到方向相反的结果

而使用点乘的方式，就可以通过向量的夹角计算出有符号面积，有

\begin{matrix} (7) & \begin{matrix} α = \frac{n \cdot n_{a}}{| | n | |^{2}} \\ β = \frac{n \cdot n_{b}}{| | n | |^{2}} \\ γ = \frac{n \cdot n_{c}}{| | n | |^{2}} \end{matrix} \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (8) & \begin{matrix} n_{a} = (c - b) \times (p - b) \\ n_{b} = (a - c) \times (p - c) \\ n_{c} = (b - a) \times (p - a) \end{matrix} \end{matrix}

$\bold{p}(\alpha,\beta,\gamma)=\alpha\bold{a}+\beta\bold{b}+\gamma\bold{c}$

$\alpha+\beta+\gamma=1$